Cho bất phương trình: x + 2y + 1 \(\le4x+y+1\)
Bằng cách chuyển vế, hãy đưa bất phương trình trên về dạng tổng quát của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn đó trên mặt phẳng tọa độ
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x - 2y + 6 > 0\)
a) (0;0) có phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho không?
b) Chỉ ra ba cặp số (x;y) là nghiệm của bất phương trình đã cho.
c) Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình đã cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Tham khảo:
a) Vì \(0 - 2.0 + 6 = 6 > 0\) nên (0;0) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
b) Vì \(0 - 2.1 + 6 = 4 > 0\) nên (0;1) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vì \(1 - 2.0 + 6 = 7 > 0\) nên (1;0) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vì \(1 - 2.1 + 6 = 5 > 0\) nên (1;1) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
c) Vẽ đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 6 = 0\) đi qua hai điểm \(A(0;3)\) và \(B\left( { - 2;2} \right)\)
Xét gốc tọa độ \(O(0;0).\) Ta thấy \(O \notin \Delta \) và \(0 - 2.0 + 6 = 6 > 0\)
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(\Delta \), chứa gốc tọa độ O
(miền không gạch chéo trên hình)
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: -3x + y < 4
a) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho trên mặt phẳng tọa độ
b) Từ đó suy ra miền nghiệm của bất phương trình -3x + y \(\le4\)
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x + 2y \ge 0\).
a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.
b) Với y=0, có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho?
a)
+) Thay x=0 và y=0 vào bất phương trình \(x + 2y \ge 0\), ta được:
\(0 + 2.0 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge 0\)(Đúng)
=> (0;0) là một nghiệm của bất phương trình \(x + 2y \ge 0\)
+) Thay x=1, y=1 vào bất phương trình \(x + 2y \ge 0\) ta được:
\(1 + 2.1 \ge 0 \Leftrightarrow 3 \ge 0\)(Đúng)
=> (1;1) là một nghiệm của bất phương trình \(x + 2y \ge 0\)
Ta tìm được 2 nghiệm của bất phương trình đã cho là (0;0) và (1;1).
b)
Thay y=0 vào bất phương trình \(x + 2y \ge 0\) ta được:
\(x + 2.0 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)
Ta thấy bất phương trình bài cho tương đương với bất phương trình nên số giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho là số x thỏa mãn điều kiện .
Mà ta có vô số giá trị của x thỏa mãn nên có vô số giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho.
Chú ý
Ta có thể thử các cặp số khác đối với câu a, miễn là cặp số đấy làm cho bất phương trình đúng.
Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 \le 0\\x + 3y > - 2\\x \le 0\end{array} \right.\)
Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau.
Bước 1: Mở trang Geoebra
Bước 2: Nhập bất phương trình \(x - 2y + 3 \le 0\) vào ô
Và bấm enter, màn hình sẽ hiển thị như hình dưới. Miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y + 3 \le 0\) là miền được tô màu. Đường nét liền biểu thị miền nghiệm chứa các điểm nằm trên đường thẳng \(x - 2y + 3 = 0\).
Bước 3: Tiếp tục nhập từng bất phương trình còn lại như sau:
x+3y>-2; \(x \le 0\)(x<=0). Khi đó màn hình sẽ hiển thị như hình dưới.
Miền nghiệm của hệ là miền được tô màu đậm nhất. Đường nét đứt biểu thị miền nghiệm không chứa các điểm nằm trên đường thẳng \(x + 3y = - 2\). Đường nét liền \(x = 0\) (trục Oy) biểu thị các điểm nằm trên trục Oy cũng thuộc miền nghiệm.
Cho hệ bất phương trình sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 3\left( 1 \right)\\x + 2y > - 2\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
a) Mỗi bát phương trình (1) và (2) có là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?
b) Chỉ ra một nghiệm chung của hai bất phương trình (1) và (2) trong hệ trên.
a) Hai bất phương trình bài cho là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (1; 1) là một nghiệm chung của hai BPT (1) và (2) vì:
Thay x=1;y=1 vào (1) ta được: 1-1<3 (Luôn đúng)
Thay x=1; y=1 vào (2) ta được: 1+2.1>-2 (Luôn đúng)
Tìm bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các bất phương trình sau và chỉ ra một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn đó:
a) \(5x + 3y < 20\)
b) \(3x - \frac{5}{y} > 2\)
a) \(5x + 3y < 20\)
Đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Chọn \(x = 0;y = 0\)
Khi đó bất phương trình tương đương với 5.0+3.0
Vậy (0;0) là một nghiệm của bất phương trình trên.
b) \(3x - \frac{5}{y} > 2\)
Đây không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ẩn y ở mẫu.
Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: -3x + 2y > 0.
Vẽ đường thẳng (d): -3x + 2y = 0
Lấy điểm A(1; 1), ta thấy A ∉(d) và có: -3.1 + 2.1 < 0 nên nửa mặt phẳng bờ (d) không chưá A là miền nghiệm của bất phương trình. (miền hình không bị tô đậm)
Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: x - 2 y < 0 x + 3 y > - 2 y - x < 3
Ta vẽ các đường thẳng x – 2y = 0 (d1) ; x + 3y = –2 (d2) ; –x + y = 3 (d3).
Điểm A(–1; 0) có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên ta gạch đi các nửa mặt phẳng bờ (d1); (d2); (d3) không chứa điểm A.
Miền không bị gạch chéo trong hình vẽ, không tính các đường thẳng là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: -x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x)
–x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x)
⇔ –x + 2 + 2y – 4 < 2 – 2x
⇔ x + 2y < 4 (1)
Biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ :
– Vẽ đường thẳng x + 2y = 4.
– Thay tọa độ (0; 0) vào (1) ta được 0 + 0 < 4
⇒ (0; 0) là một nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ không kể bờ với bờ là đường thẳng x + 2y = 4 (miền không bị gạch).